高二立體幾何練習題(理科附答案)_doc

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高2013級理科立體幾何練習題答案

1.(重慶理19)如圖,在四面體ABCD 中,平面ABC ⊥平面ACD ,AB BC ⊥,

AD CD =,CAD ∠=30?.

(Ⅰ)若AD =2,AB BC =2,求四面體ABCD 的體積;

(Ⅱ) 若二面角C AB D --為60?,求異面直線AD 與BC 所成角的余弦值.

高二立體幾何練習題(理科附答案)

(I )解:如答(19)圖1,設F 為AC 的中點,由于AD=CD ,所以DF ⊥AC.

故由平面ABC ⊥平面ACD ,知DF ⊥平面ABC ,

即DF 是四面體ABCD 的面ABC 上的高,

且DF=ADsin30°=1,AF=ADcos30°=3. 在Rt △ABC 中,因AC=2AF=23,AB=2BC ,

由勾股定理易知215415,.55BC AB =

=

故四面體ABCD 的體積

1114152154.3325ABC V S DF ?=??=???=

(II )解法一:如答(19)圖1,設G ,H 分別為邊CD ,BD 的中點,則FG//AD ,GH//BC ,從而∠FGH 是異面直線AD 與BC 所成的角或其補角.

設E 為邊AB 的中點,則EF//BC ,由AB ⊥BC ,知EF ⊥AB.又由(I )有DF ⊥平面ABC , 故由三垂線定理知DE ⊥AB.

所以∠DEF 為二面角C —AB —D 的平面角,由題設知∠DEF=60°

設,sin .2a AD a DF AD CAD ==?=

33,cot ,236a Rt DEF EF DF DEF a ?=?=?=中 從而13.26GH BC EF a =

==

因Rt △ADE ≌Rt △BDE ,故BD=AD=a ,從而,在Rt △BDF 中,122a FH BD =

=,





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